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PROBABILITA' E GIOCHI: LEGGE DEI GRANDI NUMERI


Premessa dovuta

Quanto segue e' una esposizione mirata, che punta a esprimere il concetto trattato nel modo piu' semplice e coerente (per quanto possibile) con i nostri scopi.
Per una trattazione rigorosa ,che esula dal nostro contesto, rimandiamo ad altri testi, cartacei o reperibili in rete.
La legge dei grandi numeri e' detta anche legge empirica del caso.

Legge dei grandi numeri. Un esempio vale piu' di mille parole

Supponiamo di avere una moneta, assolutamente simmetrica e bilanciata (la forma fisica della moneta non favorisce nessuna delle due facce).
Una faccia della moneta e' ROSSA, l'altra e' BLUE.

Operando un lancio (un tentativo) sappiamo a priori (vedi Calcolo della probabilita' di un evento) che la probabilita' della faccia ROSSA e della faccia NERA sono :

  • ROSSA: Casi favorevoli 1. Casi possibili 2. Probabilità = 1/2 = 0.5 = 50%.
  • BLUE: Casi favorevoli 1. Casi possibili 2. Probabilità = 1/2 = 0.5 = 50%.

Entrambe hanno una probabilita' del 50%.

Cioe' , in teoria, su un numero X di lanci, dovremmo ottenere X/2 ROSSO e X/2 BLUE. Se X=100, ci aspettiamo (circa) 50-ROSSO e 50-BLUE, quindi frequenze uguali tra loro ed uguali al 50% dei lanci. (attesa teorica).
Se effettuiamo pochi lanci (tentativi), possiamo ottenere (ad esempio con 3 lanci):

ROSSA BLUE
0 3
1 2
2 1
3 0

Questo con pochi tentativi, ma aumentando il numero di essi, la situazione cambia.
Ecco il risultato dopo una simulazione di 100, 500,1000, 5000 lanci.
Nella tabella che segue, riportiamo, (relativamente alla faccia ROSSA) per ogni numero di tentativi (lanci):

  • Le uscite effettive: (quante volte e' uscito il ROSSO).
    Le uscite "attese" dal calcolo(avendo probabilita' 0.5 cioe' 1/2 o 50%) il valore atteso e' la meta' dei tentativi..
  • La frequenza effettiva: (cioe' le uscite del ROSSO/tentativi)
    La probabilita' calcolata (0.5) e lo scarto dalla probabilita' stessa.
 Uscite della faccia ROSSAFrequenza (uscite/tentativi)
Tentativi (lanci) Effettive Attese Effettiva Probab.% Scarto
10052500,520 (52,00%)0,5 (50%)0,0200
5002332500,466 (46,60%)0,5 (50%)-0,0340
10004665000,466 (46,60%)0,5 (50%)-0,0340
5000249525000,499 (49,90%)0,5 (50%)-0,0010

La cosa che si nota subito, e' che, al crescere dei tentativi (dei lanci) la faccia ROSSA, esce con una frequenza che converge verso la probabilita' che viene dal calcolo.
Da questo possiamo ricavare una prima definizione della "Legge dei grandi numeri" o "legge empirica del caso".

All'aumentare del numero N di tentativi, un evento E si presenta con una frequenza che si avvicina sempre di piu' alla sua probabilita' P.
In generale, per N che tende all'infinito, l'evento E tende a presentarsi con una frequenza che tende alla sua probabilita' P.

Nel nostro caso, piu' sono i lanci (N), piu' la faccia ROSSA si presenta un numero di volte sempre piu' vicino al 50% dei lanci. La frequenza tende alla probabilita'.
Ovviamente, la faccia BLUE, avendo l'altro 50% di probabilita' si comporta allo stesso modo. In linea del tutto teorica su un numero infinito di lanci, dovrebbero uscire un egual numero di volte.



Legge dei grandi numeri. Formulazione basata sulla media.


Un altro modo per esprimere la stessa legge, (coerente con la sua prima formulazione, dovuta a Bernoulli), si appoggia al concetto di media.
In particolare esistono due espressioni della "legge dei grandi numeri".

  • Legge forte dei grandi numeri
  • Legge debole dei grandi numeri

Rimandiamo comunque ad altri testi specifici sull'argomento, per una trattazione piu' rigorosa e formalmente precisa delle due formulazioni della legge.
Come gia' detto, per i nostri scopi, e' sufficiente l'esposizione concettuale e la definizione data nel primo paragrafo, che lega frequenza e probabilita' teorica.



By Epicanto

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