PROBABILITA' E GIOCHI

CALCOLO DELLE PROBABILITA' E GIOCHI

Capita spesso di farsi domande tipo queste:

• Qual'e' il gioco migliore, dal punto di vista del rapporto "puntata/premio" ?.
• Al gioco del Lotto, e' meglio puntare sull' ambo o sulla cinquina ?
• E' piu' sensato puntare su un numero al gioco del Lotto o alla Roulette ?
• Quante volte si verifica un determinato evento in un numero definito di tentativi ?

In particolare la 1a,2a e 3a domanda si rifanno al concetto di EQUITA' di un gioco.
La 4a domanda se la pone il giocatore di buon senso che raccoglie tutte le informazioni possibili prima di iniziare a giocare.
Il calcolo delle probabilita' e' lo strumento con il quale ottenere, se non un valore certo, almeno una misura ragionevolmente attendibile che risponda a queste ed altre domande.

PROBABILITA' DI UN EVENTO

Viene lanciato un dado, vogliamo puntare sul numero 3:

• Quanta fiducia abbiamo che esca ?
• Quanto riteniamo attendibile che si verifichi l'evento "ESCE LA FACCIA CON IL NUMERO 3" ?
• Quanto siamo disposti a puntare se l'eventuale uscita ci rende 1 Euro ?.
• Riusciamo a quantificare la nostra aspettativa di successo ?

Queste domande esprimono il concetto di probabilita' con una visione soggettiva. La definizione classica viene definita subito sotto.
(N.B. Per una trattazione rigorosa ,che esula dal nostro contesto, rimandiamo ad altri testi, cartacei o reperibili in rete).

Per i nostri scopi definiamo la probabilita' di un evento come il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, purche' questi ultimi risultino tutti equiprobabili.

La definizione e' insidiosamente ricorsiva, cioe' viene usato il concetto di probabilita' (equiprobabilita' dei casi possibili) per definire la probabilita' stessa.
Per "rimettere" i piedi per terra, definiamo la probabilita' dell'uscita della faccia 3 del dado.

• I casi "favorevoli" all' evento sono 1 (solo una faccia ha il numero 3);
• I casi possibili sono 6 (le facce del dado)
• I casi possibili sono 'equiprobabili' (ammesso che il dado non sia truccato).
• La probabilita' del 3 e' quindi 1/6 (un sesto) cioe' 0,167, in percentuale il 16,7 %.

Se il nostro evento fosse "ESCE IL NUMERO 7", la probabilita' sarebbe 0 (zero)
cioe' EVENTO IMPOSSIBILE.
Se fosse "ESCE 1 oppure 2 oppure 3 o 4 o 5 o 6", la probabilita' sarebbe 1,
cioe' EVENTO CERTO.

La probabilita' e' quindi un numero compreso tra 0 e 1 (inclusi) che esprime quella che abbiamo chiamato fiducia o aspettativa.

Ma la fiducia e l' aspettativa sono cose un po' "astratte"..

Mettiamola in un altro modo, se un evento ha probabilita' 1/6 (come quello del nostro 3), ci aspettiamo che, su un numero sufficientemente grande di lanci, si presenti 1/6 delle volte.
Ad esempio su 600 lanci, possiamo lecitamente aspettarci un numero di successi intorno a 100.
In altre parole, la frequenza con cui si verifica un evento in un numero di prove N sufficientemente grande, tende alla probabilita' dell'evento stesso (Legge dei grandi numeri per N che tende ad infinito).
Entriamo nel nostro ambito.

PROBABILITA' DI VINCITA AL SUPERENALOTTO

CENTRARE IL SEI

Qual' e' la probabilita' di indovinare la sestina vincente al SuperEnalotto ?.
I casi possibili sono tutte quante le sestine che si formano con 90 numeri, cioe' 622.614.630 !.
I casi favorevoli sono 1 se giochiamo una sestina, 2 se ne giochiamo 2 e cosi' via.
Nel caso di una sola sestina la nostra probabilita' di vincita e':

CASI FAVOREVOLI	CASI POSSIBILI	PROBABILITA'	IN PERCENTUALE
1	622.614.630	1/622.614.630 cioe' 0,0000000016 !	0,00000016 % !

Per maggiore chiarezza, una sestina delle tante dovrebbe uscire circa 1 volta ogni 622.614.630 estrazioni !.
Non molto entusiasmante...

PROBABILITA' DEL CINQUE

In una sestina (non possiamo giocare meno numeri !), ci sono 6 cinquine.
Quindi i casi favorevoli sono 6.
Le 43.949.268 cinquine possibili con 90 numeri formano i casi possibili.

CASI FAVOREVOLI	CASI POSSIBILI	PROBABILITA'	IN PERCENTUALE
6	43.949.268	6/43.949.268 cioe' 0,00000014	0,000014 %

Ancora per maggiore chiarezza, una cinquina specifica dovrebbe uscire circa 1 volta ogni 7.324.878 estrazioni. Pero'...
Anche nella sestina vincente ci sono 6 cinquine, una delle quali potrebbe essere la nostra !.
La probabilita' reale e' quindi 6 volte quella calcolata, anche se non cambia molto le cose...

PROBABILITA' DI VINCITA AL LOTTO

Al Lotto si puo' puntare su diversi esiti.
Per parlare di probabilita' e fare un esempio, prendiamo il gioco di ambata (1 numero) su una sola ruota.
Quanti sono i casi favorevoli ?
Ovviamente 1, il numero su cui puntiamo. Siccome pero' di numeri ne vengono estratti 5, i casi favorevoli diventano 5.
Quanti sono i casi possibili ?
Ovvio anche qui, i numeri sono 90, quindi 90 casi possibili.

CASI FAVOREVOLI	CASI POSSIBILI	PROBABILITA'	IN PERCENTUALE
5	90	1/18  cioe' 0,055555	5,6 %

IL TOTOCALCIO, UN CASO DI EVENTI NON EQUIPROBABILI

Se ci chiedessimo qual'e' la probabilita' del segno X in una partita della schedina del totocalcio, istintivamente verrebbe da dire :
casi favorevoli 1, casi possibili 3 (12X), quindi 1/3.
E' pero' palesemente errato.

Lo si puo' notare anche dalle colonne vincenti, dove il segno 2 esce meno rispetto al segno X e ancora meno rispetto al segno 1.

La causa di questa disparita' e' dovuta al fatto che il risultato di una partita di calcio NON E' UN EVENTO CASUALE (STOCASTICO) ed e' influenzato da molti fattori, non ultimo il fattore campo, che assegna appunto alla squadra in trasferta minori possibilita' di vittoria.
La formula 6-5-2 (6 segni 1 , 5 segni X, e 2 segni 2) e' storicamente la piu' frequente nella schedina a 13 eventi (prima che fosse introdotto il 14).

In questi casi, la probabilita' e' calcolata in modo "FREQUENTISTICO". Si prende cioe' uno storico di eventi e si analizzano le frequenze di uscita dei segni.
E' lecito attendersi, almeno nel breve periodo ed a meno di fattori che cambino le "regole" del fenomeno studiato, che la tendenza continui e quindi (nel caso del Totocalcio), che i segni 1-X-2 continuino ad uscire con la stessa frequenza.